Activité 6 :  

Une bulle au secours des mathématiciens !

1. Position du problème :

• Considérons 4 villes A, B, C, D qui forment un carré parfait.

                                 A +                               + B

                                D +                                 + C

• Les maires de ces 4 villes veulent construire une route qui relie ces 4 villes. Mais par souci d'économie, ils veulent utiliser un minimum de goudron, et ils veulent donc que cette route soit la plus courte possible.

  Autrement dit, on cherche le plus court chemin qui relie les 4 sommets d'un carré.

• À vous de trouver la bonne solution !

2. Recherche de la solution :

Méthode 1 : recours aux mathématiques.

Ce type de problème peut se résoudre en faisant appel uniquement aux mathématiques. Mais c'est difficile !

Méthode 2 : méthode empirique.

Les visiteurs peuvent formuler plusieurs hypothèses sur des ardoises. A chaque fois, ils doivent mesurer la longueur totale de la route proposée.

• Sur votre ardoise, où le carré ABCD a été représenté, tracez vous mêmes un chemin permettant de relier les 4 villes A, B, C et D. C'est votre 1^ère hypothèse.

  Mesurez la totalité de votre chemin, et notez le résultat.

• Recommencez, et proposez d'autres hypothèses sur d'autres ardoises.

Nous n'avons pas réussi à mesurer cette première proposition... Mais de toute évidence, ce n'est pas la route la plus courte !

Une route de 24 cm de longueur (ou 24 km dans la réalité). Pas mal comme 2ème essai !

Ouah ! Seulement 22,4 cm, en prenant les diagonales du carré ! Sans doute n'est-il pas possible de trouver plus court ?

Ahhh zuuuut ! Non là, 27,4 cm, c'est moins bien !

Méthode 3 : une bulle à notre secours !

Ce type de problème, où il faut trouver « le plus court chemin », ou « la plus petite surface », peut souvent être résolu en formant un film liquide d'eau savonneuse (ou « une bulle de savon »).

Un film liquide est très fragile. Les molécules qui le constituent tirent les unes sur les autres et créent ainsi une tension, appelée tension superficielle. Quand cette tension superficielle est trop grande, le film liquide éclate.

Plus la surface du film liquide est grande, plus les molécules tirent les unes sur les autres, plus la tension superficielle est grande et plus le film liquide est fragile. Et inversement, plus la surface d'un film liquide est petite, plus celui-ci est robuste.

En conséquence, quand un film liquide se forme, pour être le plus stable possible, il adopte automatiquement la géométrie qui lui donne la plus petite surface possible.

Ainsi, si on arrive à former un film liquide prenant appui sur les points A,B,C,D, alors il nous indiquera automatiquement les plus court chemin pour relier ces 4 villes !

À vous d'agir !

• Vous disposez de 2 plaques de polystyrène extrudé, sur lesquelles ont été représentés le carré ABCD.

• Sur l'une de ces 2 plaques, piquez en chacun des 4 points A,B,C,D, une tige de bois qui devra être bien perpendiculaire à la plaque.

• Les 4 extrémités restées libres des 4 tiges ainsi fixées doivent être enfoncées légèrement dans les 4 points A,B,C,D de l'autre plaque de polystyrène extrudé.

• Plongez votre dispositif dans de l'eau savonneuse. Sortez-le avec délicatesse et observez... Vous avez sous les yeux la bonne réponse !

  Attention ! Évitez d'agiter l'eau savonneuse. La mousse perturberait le résultat !

• Observez la solution !

Bulle magique ! Que d'émotion devant une telle bulle !

Emotion, passion, frisson !

Bilan :

En reportant les indications de la bulle sur notre ardoise, on se rend compte qu'elle a raison !

La route alors obtenue mesure seulement 21,1 cm.

On constate d'autre part qu'au niveau des 2 croisements obtenus, l'angle entre 2 routes est à chaque fois de 120°.