Activité 7 :  

La géométrie d'un tas de sable.

Dans un désert, les dunes de sable fin ont souvent des formes magnifiques. Mais il est très difficile de prévoir ces formes, car elles changent en permanence et sont liées directement au vent.

Par contre, il est assez facile de prévoir la forme du tas obtenu quand on verse du sable sur un support polygonal horizontal (dans une salle sans vent)...

1. Position du problème :

On veut essayer de deviner la forme que va prendre du sable quand on va le déposer sur une surface polygonale horizontale : par exemple, sur une surface triangulaire, sur un quadrilatère, un pentagone, un hexagone, …

2. Premiers essais :

Commençons par une surface triangulaire horizontale, dont l'un des côtés s'appuie sur un « mur » vertical :

ce « mur » permet d'isoler 1 seul des 3 angles du triangle (les 2 autres sont « bloqués » contre le mur).

• Recouvrez ce dispositif de sable. Soulevez-le délicatement. Observez.

   

• Recommencez en changeant d'angle.

   

• Qu'observez-vous ?

  On obtient à chaque fois une pyramide avec une seule arête.

   

  À votre avis, quelle direction suit l'arête ?

  Laissez les visiteurs réfléchir.

  L'arête semble suivre la direction de la bissectrice de l'angle isolé.

  Rappel : la bissectrice d'un angle est la droite qui passe par son sommet et qui le partage en 2 parties égales.

   

• Vérifions-le grâce au dispositif fourni (même dispositif, mais avec possibilité de repérer la bissectrice de l'angle) :

  • • • Repérez la bissectrice de l'angle.

      • Recouvrez de sable.

      • Soulevez délicatement, et vérifiez.

        C'est bien cela ! L'arête de la pyramide obtenue suit la direction de la bissectrice de l'angle !

3. Passons à des polygones plus complexes !

Partant de là, on peut essayer de deviner la forme de la pyramide que l'on obtiendra en faisant un tas de sable sur des surfaces horizontales plus complexes : il suffit de tracer les bissectrices de tous les angles pour repérer les arêtes de la pyramide...

• Essayez d'abord sur un triangle, avec le dispositif de mesure fourni (ce dispositif permet de repérer facilement les bissectrices d'un triangle).

   

• Ensuite, en fonction du niveau des visiteurs et du temps restant, vous pouvez :

  • • Soit leur demander simplement de tester sur d'autres polygones, sans faire de prévisions préalables ;

    • Soit leur demander de tester sur d'autres polygones, mais après avoir essayé de faire des prévisions précises (avec rapporteur) sur papier...

Magique !!!

Emotion, passion, frisson !

Le triangle du bas va être recouvert de sable (en plexiglass).

Celui du haut, identique à celui du bas, permet de prévoir la forme du tas de sable qu'on va obtenir. Ses angles ont été mesurés (44°, 60°, et 76°), et des règles permettent d'en représenter rapidement les bissectrices.

Les arêtes de la pyramide obtenue doivent suivre exactement les directions des bissectrices du triangle de base...

Le triangle du bas est abondamment recouvert de sable.

Puis, on le soulève délicatement, en essayant de maintenir cette base triangulaire à l'horizontale.

On observe...

On compare avec les prévisions effectuées sur le triangle du haut.

Coïncidence parfaite : ça marche !

Contemplation !

Des polygones qui admettent un cercle inscrit :

autrement dit, polygones dont toutes les bissectrices sont concourantes.

Le tas de sable est alors dominé par une pointe

(qui correspond au point de concours des bissectrices du polygone de la base).

Des polygones qui n'admettent pas un cercle inscrit :

autrement dit, polygones dont les bissectrices ne sont pas concourantes.

Le tas de sable est alors dominé par une crête.

- Le polygone est découpé dans du polystyrène extrudé.

- Il est posé sur une planchette en bois horizontale, trouée pour que le sable puisse s'en évacuer, et maintenue par 2 tiges verticales (qui permettront de récupérer la planchette et le polygone alors qu'ils sont ensevelis sous le sable).

- On recouvre le tout de sable sec, propre, fin et régulier. Seules les 2 tiges dépassent du tas de sable.

- On soulève le tout délicatement en saisissant les 2 tiges : le sable s'évacue de la planchette, mais il reste sur le polygone...

Un exemple de polygone (en polystyrène extrudé).

La planchette percée et ses 2 tiges.

Pour le plaisir des yeux :

(au hasard de nos manipulations) 

la planchette recouverte seule de sable, puis retirée délicatement...